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Résolutions d'équation du second degré dans l'ensemble des complexes
Cours terminale S

Les nombres complexes vont nous aider à une autre chose : la résolution d'équation du second degré. Quand (avant) il n'y avait pas de solution dans les réels, maintenant il y en aura une dans l'ensemble des complexes.

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Les nombres complexes vont nous être utilise plus d'une fois. Par exemple, dans les équations du second degré.
En effet, les équations du second degré qui n'avaient pas de solution réelle, car le discriminant était négatif, vont en avoir dans l'ensemble des complexes.

Propriété

Résolutions d'équation du second degré dans l'ensemble des complexes

Soit az² + bz + c = 0 une équation du second degré à coefficient réel, avec a,b,c et a ≠ 0.
Soit Δ = b² - 4ac le discriminant de cette équation.
  • Si Δ > 0, alors l'équation admet deux solutions distinctes réelles :

    résolutions d'équation du second degré
  • Si Δ = 0, alors l'équation admet une unique solution réelle :

    résolutions d'équation complexe
  • Si Δ < 0, alors l'équation admet deux solutions distinctes complexes :

    résolutions d'équation du second degré dans l'ensemble des complexes

Je vous donne un exemple.

Exemple

Résolvons l'équation z² + z + 1 = 0 dans ensemble des nombres complexes.

Calculons tout d'abord le discriminant : Δ = 1 - 4 × 1 × 1 = -3. On peut écrire que Δ = 3i² .
Le discriminant est négatif. On regarde dans l'encadré précédent... l'équation admet deux solutions distinctes complexes :

exemple de résolution d'équation du second degré complexe

Et on a trouvé nos deux solutions.

Résolutions d'équation du second degré dans l'ensemble des complexes : 5/5 (1 avis)
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