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Probabilités

Variables aléatoires et calculs d'espérances
Correction exercice première S

Une variable aléatoire X suit la loi de probabilité représentée dans le tableau suivant :
xi -3 -2 0 5
P(X = xi) 1/2 3/4 7/13 1/5

  • Calculer E(X).

    On sait que l'espérance d'une variable aléatoire X est le réel :

    espérance


    Donc ici :

    E(X) = -3 × 1 - 2 × 3 + 0 × 7 + 5 × 1
    2 4 13 5

    E(X) = -3 - 6 + 1
    2 4

    E(X) = -2


  • Soit Y = X + 1. Calculer E(Y).

    On sait que l'espérance est linéaire.
    Comme Y = X + 1, on a :

    E(Y) = E(X + 1) = E(X) + 1


    Or, on a calculer dans la question précédente la valeur de E(X) qui est -2.

    Donc :

    E(Y) = E(X) + 1 = -2 + 1 = -1


  • Soit Z = Y + k. Déterminer k pour que E(Z) = 1.

    On sait que l'espérance est linéaire.
    Comme Z = Y + k, on a :

    E(Z) = E(Y + k) = E(Y) + k


    On cherche k tel que E(Z) = 1.

    E(Z) = 1 ⇔ E(Y) + k = 1

    k = 1 - E(Y)

    k = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2


    Donc, pour que E(Z) = 1, k doit valoir 2. C'est aussi simple que ça.


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