Fonction exponentielle

Etude de trois fonctions avec des exponentielles
Exercices terminale ES

Voici un exercice de maths très interessant sur la fonction exponentielle : l'étude de trois fonctions exponentielles. Si vous savez faire cet exercice, vous êtes prêt pour le bac ! Du moins, sur la fonction exponentielle.

Soit f la fonction définie sur [1; +∞[ par :

f(x) = ex - x²

  • En dérivant deux fois la fonction f, déterminer les variations de cette fonction sur son domaine de définition.
  • Déterminer le signe de f.
  • On considère la fonction f définie sur [0; +∞[ par : g(x) = x e-x².
    On appelle Cg sa courbe représentative.
    Déterminer la limite de g en +∞.
  • Justifier la décidabilité de g sur [0; +∞[ avant de déterminer ses variations sur [0; +∞[ et dresser son tableau de variations.
  • éterminer une équation de la tangente (T) à Cg au point d'abscisse 0.
  • Tracer la droite (T) et la courbe Cf.
  • On considère la fonction f définie sur [0; +∞[ par : h(x) = x³ e-x².
    On appelle Ch sa courbe représentative.
    Déterminer la limite de h en +∞ en utilisant la partie A.
  • Déterminer les variations de h sur [0; +∞[ et dresser son tableau de variations.
  • Déterminer les positions relatives de Cg et Ch.
  • Tracer Cg et Ch.

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