Suites numériques

Croissance d'une suite numérique
Correction exercice terminale S

Dans cet exercice, nous allons utiliser le principe du raisonnement par récurrence.

Montrons par récurrence que, pour tout entier naturel n, un > 0.

Notons P(n) la proprosition "un > 0".

Initialisation :

P(0) est vraie car :

u0 = 1 > 0

Hérédite :

Supposons que P(n) est vraie et montrons que P(n + 1) l'est aussi.

On a donc un > 0, soit un + 2 > 2, d'où :

un + 2 > √2 > 0

Donc, P(n + 1) est vraie.

Donc, la proposition est vraie pour tout n entier naturel.

On vient donc de montrer que :

un > 0

Montrons à présent, toujours par récurrence, que, pour tout entier naturel n, un + 1 > un.

Notons Q(n) la proprosition "un + 1 > un".

Initialisation :

Q(0) est vraie car :

u1 = √3 > u0 = 1

Hérédite :

Supposons que Q(n) est vraie et montrons que Q(n + 1) l'est aussi.

On a donc un + 1 > un, soit <un + 1 + 2 > un + 2, d'où :

un + 1 + 2 > √un + 2

Soit :

un + 2 > un + 1

Donc, Q(n + 1) est vraie.

Donc, la proposition est vraie pour tout n entier naturel.

Conclusion : la suite un est strictement croissante.

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