Suites numériques

Décroissance d'une suite numérique
Correction exercice terminale S

Dans cet exercice, nous allons utiliser le principe du raisonnement par récurrence.

Montrons par récurrence que, pour tout entier naturel n, un + 1un.

Notons P(n) la proprosition "un + 1un".

Initialisation :

P(0) est vraie car :

u1 = 1 ≤ u0 = 1

Hérédite :

Supposons que P(n) est vraie et montrons que P(n + 1) l'est aussi.

un + 2 - un + 1 = un + 1 - un - 2

L'hypothèse de récurrence est un + 1un, soit un + 1 - un ≤ 0, donc on a un + 1 - un - 2 ≤ 0, d'où :

un + 2 - un + 1 ≤ 0

Donc, P(n + 1) est vraie.

Donc, la proposition est vraie pour tout n entier naturel.

Conclusion : la suite un est décroissante.

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