Suites numériques

Sens de variation de suites numériques
Correction exercice terminale S

Etudier le sens de variation des suites suivantes :
  • un = -2(n - 1)²

    Pour tout entier naturel n, on a :

    un + 1 - un = -4n + 2

    Si n ≥ 1, alors -n ≤ -1. Donc :

    -4n + 2 ≤ -2

    D'où :

    un + 1 - un < 0

    De plus, u0 = -1 et u1 = 0.

    On peut en déduire que la suite un est strictement décroissante à partir du rang 1.


  • un = 3un² - 2 un + 1 et u0 = 1

    Pour tout entier naturel n, on a :

    un + 1 - un = (3un² - 2un + 1) - un

    un + 1 - un = 3un² - 3un + 1

    un + 1 - un = 3(un² - un) + 1

    un + 1 - un = 3(un - 1 )² + 1
    2 4

    Or, pour tout entier naturel n :

    (un - 1 )² ≥ 0
    2

    Donc :

    3(un - 1 )² ≥ 0
    2

    Et :

    3(un - 1 )² + 1 1
    2 4 4

    Ainsi :

    un + 1 - un > 0

    Donc, la suite un est strictement croissante.


  • un = n - ln(n + 1)

    On va s'aider d'une fonction.

    Soit f la fonction définie sur [0; +∞[ par :

    f(x) = x - ln(1 + x).

    Cette fonction f est dérivable sur [0; ∞[ et, pour tout x appartenant à [0; ∞[ :

    f' (x) = 1 - 1 = x
    1 + x 1 + x

    On a f' (0) = 0 et, pour tout x > 0, f' (x) > 0.

    Donc, f est strictement croissante sur [0; +∞[.

    (n + 1 > n) ⇒ (f(n + 1) > f(n)) ⇒ (un + 1 > un)

    Donc, la suite un est strictement croissante.


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