Suites numériques

Suite géométriques et somme de termes
Correction exercice terminale S

Soit un la suite définie par :

suite géométrique

On définit la suite vn par : vn = un - 1/2.
  • Montrer que la suite vn est une suite géométrique. Exprimer vn en fonction de n. En déduire un en fonction de n.

    Pour tout entier naturel n, on a :

    vn + 1 = un + 1 - 1
    2

    C'est à dire :

    vn + 1 = -3un + 2 - 1 = -3un + 3 = -3(un - 1 ) = -3vn
    2 2 2


    Donc, la suite vn est une suite géométrique de raison -3, avec v0 = 3/2.

    D'où, pour tout entier naturel n :

    vn = 3 (-3)n
    2

    Et pour un :

    un = 3 (-3)n + 1
    2 2


  • Calculer Sn, la somme des termes de la suite un, en fonction de n.

    On va utiliser l'expression de vn, trouvée dans la question précédente, pour calculer la somme des termes de la suite un.

    Sn = somme des termes d'une suiteuk = somme des termes d'une suite( 3 (-3)n + 1 )
    2 2

    Réorganisons tout cela pour simplifier un peu les choses.

    Sn = 3 somme des termes d'une suite(-3)n + somme des termes d'une suite 1
    2 2

    On utilisant les formules de calcul de la somme des termes d'une suite géoémtrique et celle d'une suite arithmétique, on trouve :

    Sn = 3 ( (-3)n + 1 - 1 ) + 1 (n + 1)
    2 -3 - 1 2

    Sn = - 3 ((-3)n + 1 - 1) + 1 (n + 1)
    8 2

    Sn = (-3)n + 2 + 3 + 1 (n + 1)
    8 8 2

    Sn = (-3)n + 2 + 7 + n
    8 8 2


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