Suites numériques

Suite numérique bornée
Correction exercice terminale S

Commençons par faire une petite modification pour simplifié la résolution de cet exercice :

un = e-n² + n + 1 = e-n² + n + 1 × 1
n + 2 n + 2

Encadrement du premier facteur :

Commençons par encadrer le premier facteur, c'est-à-dire : e-n² + n + 1.
Pour cela, nous encadrerons d'abord -n² + n + 1 et on mettra un "petit coup" d'exponentielle au tout.

e-n² + n + 1 = -(n - 1 )² + 5
2 4

Donc :

(n - 1 )² ≥ 0 ⇒ - (n - 1 )² ≤ 0 ⇒ -n² + n + 1 ≤ 5
2 2 4

Or, la fonction exponentielle est croissante et positive sur l'ensemble des réels.

Donc, on peut en déduire que :

0 ≤ e-n² + n + 1e5/4

Encadrement du second facteur :

Encadrons à présent le second facteur :

n ≥ 0 ⇒ n + 2 ≥ 2 ⇒ 0 ≤ 1 1
n + 2 2


Conclusion :

Si on reprend les deux encadrements précédents, on obtient :

0 ≤ e-n² + n + 1 e5/4
n + 2 2

Ainsi, pour tout entier naturel n :

0 ≤ un e5/4
2

Donc, la suite un est bornée.

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